Число как результат количественного сравнения совокупностей предметов

В этом отрывке, понятном по смыслу, подчеркнутые слова имеют форму двойственного числа (речь идет о двух, о трех рогах). Исчезновение двойственного числа в русских памятниках начинается с 13 в. Наиболее освоенное число натурального ряда, граничащее с не считаемым, часто приобретало особый ореол чудесного и, по видимому, служило основанием для возникновения суеверий, связанных с различными числами, сохранившимся в языке до сих пор. Суеверия связанные с такими числами как 3,7,13,40 распространены. Как мы знаем, у нас сейчас в употреблении десятичная система счисления. Единственной причиной, заставивший большинство народов избрать десятичную систему счисления, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев - это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознание новое стандартное множество, в виде абстрактного ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образование числовых понятий мы вспоминаем каждый раз, когда советуем ученику считать по пальцам. Пальцевый счет - обозначение чисел при помощи пальцев – обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практическими потребностями. Приемы его излагались еще в учебниках XVI в., например у Рикорда (1510 -1558 гг.). Пальцевый счет был необходим в торговых местах, где сталкивались представители разных народов, не имевших общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевой счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе.

Понятие натурального числа является одним из основных понятий в математике. Возникло оно, как и вся наука математика, из потребности практической деятельности людей. Складывалось оно постепенно в процессе решения все усложняющихся задач с начала практического , а затем и теоретического характера. Причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, является необходимость сравнивать различные конечные множества между собой. В своем развитии понятие натурального числа прошло несколько этапов. В глубокой древности, чтобы сравнивать конечные множества, устанавливали или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этапе человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности группа из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке», о множестве из двадцати предметов: «Столько же, сколько пальцев у человека». Такой метод обладал недостатком, что сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел – сравнения множеств стали применять множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых множеств: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов – словами «весь человек».

Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок перечислялось уже не одно яблоко, два яблока и т.д., а проговаривали слова «один», «два», «три» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятие числа. Вот как об этом говорил крупнейший математик современности Н.Н. Лузин: «Мы должны склониться перед гением человека, созданию (не открывшего, а создавшего) понятие единицы. Возникло число, а вместе с ним возникла Математика . Идея числа – вот с чего начиналась история величайшей науки»

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятие нуля. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел .

После того как понятие натурального числа сформулировалось числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика».

Арифметика возникла в странах Древнего Востока, Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Турции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математике Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с 13 века –европейские ученые.