Число как результат количественного сравнения совокупностей предметов

Свидетельства этнографов убеждают нас в том, что до сих пор существуют племена, не имеющие числительных, кроме один, два, три. Более многочисленная группа предметов у них характеризуется словами «много», «куча», «тьма». Эскимос знает и хранит в памяти не числа своих собак, а индивидуальные особенности каждой, подобно тому как ребенок, не умеющий еще считать, представлять свои куклы игрушки по их признакам. Счет, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы подсчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определенной совокупности. У большинства народов такой стандартной совокупности служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на дереве, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например раковины, бобы и т. д. Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индийские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, они называли много. При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т.д. вот почему для называния числа «два» или «три» использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трех предметах шла речь.

Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счета, человек начал осознавать то общее, что имеют «три человека» и «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались абстрактные числа «один», «два», «три», «четыре», и т. д. А вот выдающийся русский ученый-путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай (1846-1888 гг.) описывает, как производили счет папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе,бе, .», пока не доходит до «ибон-али» (две руки), т.е. два множества по пять элементов.

Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». Так у Геродота-греческого историка пятого века до н.э. читаем: «Персидский царь Дарий, оставив на время похода (в южнорусские степи) греков для охраны моста, построенного им через Дунай сказал: возьмите этот ремень и начиная с того дня, как я пойду на скифов, развязывайте на нем каждый день по одному узлу; когда минует число дней, означенное узлами, и я не вернулся, плывите обратно на родину. Аналогичный прием описывает Т. Семушкин в упомянутой уже повести: «Чукче Омрытагену оставили связку пуговиц. Он их по одной снимает каждое утро. Кончится вся связка, тогда он поедет на «праздник говоренья» (конференцию). Здесь мы в том и в другом случае имеем тоже обращение к множествам объектов, породившим числовое понятие, какое повторяет учитель арифметики в начальных классах, приглашая учеников считать с помощью кубиков, палочек, пальцев.

Итак, в математике вначале было не число, а множество. Анализ понятия множества и выяснения его подлинного значения в математике есть заслуга главным образом немецкого математика Георга Кантора (1845-1918 гг.). Созданная им теория множеств, некоторые идеи которой имелись и у предшественников Кантора и в частности были сравнительно подробно разработаны у чешского философа Бальцано (1781-1848 гг.), лежит ныне не только в основе математического анализа, но и проникает в известной мере в учебники школьной арифметики и алгебры. Современной человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т.д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, его элементы - натуральными числами. Уже в I н. э. греческий математик Никомах говорит о натуральном, т. е. естественном ряде чисел. Термин «натуральное число» впервые употребляет римский автор Боэций (475-524 гг. н.э.). Время от времени термин этот встречается затем в рукописях XI века и позже. В современном смысле понятии «натуральное число» и последовательное употребление термина находит применение у французского просветителя Даламбера (1717-1783 гг.) в изданной им сотрудничестве с другими передовыми писателями во всеобщее употребление. Во многих языках, в том числе славянском, существуют такие грамматические формы, как единственное число, двойственное число и множественное; слово, обозначающее предмет, имеет различные окончание, в зависимости от того идет ли речь об одном, о двух или более чем о двух предметах. В некоторых языках имеется еще особая форма тройственного числа. Эти языковые формы являются пережитками той отдаленной эпохи развития, в которую человеком были освоены лишь числа один и два или один, два и три; всякая более многочисленная группа предметов характеризовалась словами «много», «тьма». В замечательном памятнике древнерусской литературы «Поучение Владимира Мономаха» написанном лет восемьсот назад, формы слов в различных падежах совпадают с современными, когда речь идет об одном или о многих предметах (формы единственного или множественного чисел). Когда же говорится о двух предметах или парных, появляется непривычная нам форма. «Конь диких своима рукама связал есмь. А лось ругама бол…»